gyroscopyГироскопия и навигацияGiroskopiya i Navigatsiya0869-70352075-0927AO «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»10.17285/0869-7035.0068gyroscopy-175Research ArticleСтатьиАлгоритм полиномиальной фильтрации в задачах обработки навигационной информации при квадратичных нелинейностях в уравнениях динамики и измерений. Часть I. Описание и сопоставление с алгоритмами калмановского типаPolynomial Filtering Algorithm Applied to Navigation Data Processing under Quadratic Nonlinearities in System and Measurement Equations. Part 1. Description and Comparison with Kalman Type Algorithmshttps://orcid.org/0000-0003-3640-3760СтепановО. А.StepanovО. А.

Степанов Олег Андреевич. Член-корреспондент РАН, доктор технических наук, начальник научно-образовательного центра, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО (С.-Петербург). Вице-президент международной общественной организации «Академия навигации и управления движением».

Stepanov, О.А., Concern CSRI Elektropribor, JSC, St. Petersburg, Russia; ITMO University, St. Petersburg, Russia 

https://orcid.org/0000-0001-5438-2911ЛитвиненкоЮ. А.LitvinenkoYu. A.

Литвиненко Юлия Александровна. Кандидат технических наук, начальник сектора, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО. Действительный член международной общественной организации «Академия навигации и управления движением». 

Litvinenko, Yu.A., Concern CSRI Elektropribor, JSC, St. Petersburg, Russia; ITMO University, St. Petersburg, Russia 

https://orcid.org/0000-0003-0768-0814ВасильевВ. А.VasilievV. A.

Васильев Владимир Андреевич. Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО, СПбГЭТУ «ЛЭТИ» (С.-Петербург).

Vasiliev, V.A., Concern CSRI Elektropribor, JSC, St. Petersburg; ITMO University, St. Petersburg; St. Petersburg Electrotechnical University LETI, Russia

https://orcid.org/0000-0001-6262-7691ТороповА. Б.ToropovA. B.

Торопов Антон Борисович. Кандидат технических наук, старший научный сотрудник, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор» (Санкт-Петербург).

https://orcid.org/0000-0002-7274-4303БасинМ. В.BasinM. V.

Басин Михаил Валентинович. Профессор, Автономный университет штата Нуэво Леон (Сан-Николасде-лос-Гарса, Мексика), Университет ИТМО (Санкт-Петербург). 

РАН, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМОРоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC; ITMO University, St. Petersburg, RussiaRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМОРоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC; ITMO University, St. Petersburg, RussiaRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО, СПбГЭТУ «ЛЭТИ»РоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC,; ITMO University; University LETI, St. Petersburg, RussiaRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»РоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC, St. Petersburg, RussiaRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»РоссияITMO University, St. Petersburg; Autonomous University of Nuevo León, San Nicolás de los Garza, MexicoRussian Federation202102102025293333Copyright © Степанов О.А., Литвиненко Ю.А., Васильев В.А., Торопов А.Б., Басин М.В., 20252025Степанов О.А., Литвиненко Ю.А., Васильев В.А., Торопов А.Б., Басин М.В.Stepanov О.А., Litvinenko Y.A., Vasiliev V.A., Toropov A.B., Basin M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.gyroscopy.ru/jour/article/view/175

Рассматриваются задачи фильтрации, решаемые при обработке навигационной информации при наличии нелинейностей квадратичного типа как в уравнениях динамики, так и в уравнениях измерений. Предлагается рекуррентный алгоритм калмановского типа, в котором оценка прогноза и коэффициент усиления на каждом шаге вычисляются исходя из предположения о гауссовском характере апостериорной плотности на предыдущем шаге и стремления минимизировать матрицу ковариаций погрешностей оценивания с использованием линейной относительно текущего измерения процедуры. Обсуждается связь предлагаемого алгоритма с другими алгоритмами калмановского типа, в частности с обобщенным фильтром Калмана и фильтром второго порядка. Излагается методика оценки эффективности и сопоставления алгоритмов.

The paper considers the filtering problems solved in navigation data processing underquadratic nonlinearities both in system and measurement equations. A Kalman typerecursive algorithm is proposed, where the predicted estimate and gain at each step arecalculated based on the assumption on the Gaussian posterior proba-bility density functionof the estimated vector at the previous step and minimization of estimation error covariancematrix using a linear procedure with respect to the current measurement. The similaritiesbetween this algorithm and other Kalman type algorithms such as extended and secondorderKalman filters are discussed. The procedure for estimating the performance andcomparing the algorithms is presented.

Алгоритмы калмановского типанелинейная фильтрацияполиномиальный фильтрнавигационная информацияKalman type algorithmsnonlinear filteringpolynomial filternavigation data.ReferencesKalman, R.E., A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME. Series D, J. Basic Engineering, 82, 1960, pp. 35-45.Kalman, R.E., A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME. Series D, J. Basic Engineering, 82, 1960, pp. 35-45.Челпанов И.Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных системах. М.: Наука, 1967.Челпанов И.Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных системах. М.: Наука, 1967.Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. 319 с.Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. 319 с.Gelb, A., Applied Optimal Estimation. M.I.T. Press, Cambridge, 1974.Gelb, A., Applied Optimal Estimation. M.I.T. Press, Cambridge, 1974.Autolas A.S., ed., Mathematical System Theory. The Influence of R.E.Kalman, Springer-Verlag, Berlin, 1991.Autolas A.S., ed., Mathematical System Theory. The Influence of R.E.Kalman, Springer-Verlag, Berlin, 1991.Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация. Судостроение, Санкт-Петербург, 1991, 223 с.Дмитриев С.П. Высокоточная морская навигация. Судостроение, Санкт-Петербург, 1991, 223 с.Bar-Shalom Y., Li, X., Kirubarajan, T.. Estimation with applications to tracking and navigation, New York, Wiley–Interscience, 2001, 581 p.Bar-Shalom Y., Li, X., Kirubarajan, T.. Estimation with applications to tracking and navigation, New York, Wiley–Interscience, 2001, 581 p.Алёшин Б.С., Афонин А.А., Веремеенко К.К., Кошелев Б.В., Плеханов В.Е. Ориентация и навигация подвижных объектов. Современные информационные технологии. Москва, 2006.Алёшин Б.С., Афонин А.А., Веремеенко К.К., Кошелев Б.В., Плеханов В.Е. Ориентация и навигация подвижных объектов. Современные информационные технологии. Москва, 2006.Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. Москва, 2003.Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. Москва, 2003.Степанов О.А. Фильтр Калмана: история и современность (к 80-летию Рудольфа Калмана) // Гироскопия и навигация. 2010. № 2 (69). С. 107–121.Степанов О.А. Фильтр Калмана: история и современность (к 80-летию Рудольфа Калмана) // Гироскопия и навигация. 2010. № 2 (69). С. 107–121.Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем: в 3 ч. / 3-е изд., испр. и доп. Москва: Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2011.Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем: в 3 ч. / 3-е изд., испр. и доп. Москва: Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2011.Gibbs, B.P., Advanced Kalman Filtering, Least-Squares and Modeling: A Practical Handbook, John Wiley&Sons, Inc., 2011.Gibbs, B.P., Advanced Kalman Filtering, Least-Squares and Modeling: A Practical Handbook, John Wiley&Sons, Inc., 2011.Brown, R.G., Hwang, P.Y.C., Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, 4rd Ed., John Wiley, 2012.Brown, R.G., Hwang, P.Y.C., Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, 4rd Ed., John Wiley, 2012.Grewal, M.S., Andrews, A.P., Bartone, Ch.G., Global Navigation Satellite Systems, Inertial Navigation, and Integration, Third edition, John Wiley & Sons, Inc., 2013.Grewal, M.S., Andrews, A.P., Bartone, Ch.G., Global Navigation Satellite Systems, Inertial Navigation, and Integration, Third edition, John Wiley & Sons, Inc., 2013.Groves, P.D., Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd edition, Artech Hous, Boston, London, 2013, 763p.Groves, P.D., Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd edition, Artech Hous, Boston, London, 2013, 763p.Markley, F.L., Crassidis, J.L., Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, Springer New York, 2014, 1286 р.Markley, F.L., Crassidis, J.L., Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, Springer New York, 2014, 1286 р.Stepanov, О.А., Optimal and sub-optimal filtering in integrated navigation systems, Aerospace Navigation Systems, 2016, Chichester, UK: John Wiley & Sons Ltd., pp. 244–298.Stepanov, О.А., Optimal and sub-optimal filtering in integrated navigation systems, Aerospace Navigation Systems, 2016, Chichester, UK: John Wiley & Sons Ltd., pp. 244–298.Степанов О.А. Методы обработки навигационной измерительной информации. Санкт-Петербург, 2017, 196 с.Степанов О.А. Методы обработки навигационной измерительной информации. Санкт-Петербург, 2017, 196 с.Jazwinski, A. H., Stochastic process and filtering theory, New York: Academic Press, 1970.Jazwinski, A. H., Stochastic process and filtering theory, New York: Academic Press, 1970.Дмитриев С.П., Шимелевич Л.И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. Л.: ЦНИИ «РУМБ», 1977. 84 с.Дмитриев С.П., Шимелевич Л.И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. Л.: ЦНИИ «РУМБ», 1977. 84 с.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 1998. 370 с.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 1998. 370 с.Bergman, N., Recursive Bayesian estimation. Navigation and tracking applications. Linkoping Studies in Science and Technology, Dissertations no. 579, Department of Electrical Engineering Linkoping University, SE-581-83 Linkoping, Sweden, 1999.Bergman, N., Recursive Bayesian estimation. Navigation and tracking applications. Linkoping Studies in Science and Technology, Dissertations no. 579, Department of Electrical Engineering Linkoping University, SE-581-83 Linkoping, Sweden, 1999.Gustafsson, F., Adaptive Filtering and Change Detection, John Wiley & Sons Ltd, 2000.Gustafsson, F., Adaptive Filtering and Change Detection, John Wiley & Sons Ltd, 2000.Doucet, A., Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, Springer New York, 2001, 590 p.Doucet, A., Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, Springer New York, 2001, 590 p.Lefebvre, T., Bruyninckx, H., de Schutter, J., Nonlinear Kalman Filtering for Force-Controlled Robot Tasks, Berlin: Springer, 2005, 265 p.Lefebvre, T., Bruyninckx, H., de Schutter, J., Nonlinear Kalman Filtering for Force-Controlled Robot Tasks, Berlin: Springer, 2005, 265 p.Gustafsson, F., Gunnarsson, F., Bergman, N., et al., Particle filters for positioning, navigation, and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002.Gustafsson, F., Gunnarsson, F., Bergman, N., et al., Particle filters for positioning, navigation, and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002.Chen, Z., Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond. Adaptive Systems Lab., McMasterUniv., Hamilton, Canada, 2003.Chen, Z., Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond. Adaptive Systems Lab., McMasterUniv., Hamilton, Canada, 2003.Ristic, B., Arulampalam, S., and Gordon, N., Beyond the Kalman Filter: Particle Filter for Tracking Applications, Artech House Radar Library, 2004.Ristic, B., Arulampalam, S., and Gordon, N., Beyond the Kalman Filter: Particle Filter for Tracking Applications, Artech House Radar Library, 2004.Daum, F., Nonlinear Filters: Beyond the Kalman Filter, IEEE Aerospace and Electronic Systems. Tutorials, 2005, vol. 20(8), pp. 57–71.Daum, F., Nonlinear Filters: Beyond the Kalman Filter, IEEE Aerospace and Electronic Systems. Tutorials, 2005, vol. 20(8), pp. 57–71.Simon, D., Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, USA, 2006.Simon, D., Optimal State Estimation: Kalman, H-infinity, and Nonlinear Approaches, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, USA, 2006.Särkkä, S., Bayesian Filtering and Smoothing, Cambridge University Press, 2013.Särkkä, S., Bayesian Filtering and Smoothing, Cambridge University Press, 2013.Рыбаков К.А. Статистические методы анализа и фильтрации в непрерывных стохастических системах. Москва: Изд-во МАИ, 2017. 176 с.Рыбаков К.А. Статистические методы анализа и фильтрации в непрерывных стохастических системах. Москва: Изд-во МАИ, 2017. 176 с.Li, X.R., Jilkov, V.P., A survey of maneuvering target tracking: Approximation techniques for nonlinear filtering, Proc. SPIE Conference on Signal and Data Processing of Small Targets, 2004, pp. 537–550.Li, X.R., Jilkov, V.P., A survey of maneuvering target tracking: Approximation techniques for nonlinear filtering, Proc. SPIE Conference on Signal and Data Processing of Small Targets, 2004, pp. 537–550.Руденко Е.А. Оптимальные дискретные нелинейные фильтры порядка объекта и их гауссовские приближения // Автоматика и телемеханика. 2010. № 2. С. 159–178.Руденко Е.А. Оптимальные дискретные нелинейные фильтры порядка объекта и их гауссовские приближения // Автоматика и телемеханика. 2010. № 2. С. 159–178.Zhang, F., Xue, W.F., Liu, X., Overview of Nonlinear Bayesian Filtering Algorithm, Procedia Engineering, 2011, 15, pp. 489–495.Zhang, F., Xue, W.F., Liu, X., Overview of Nonlinear Bayesian Filtering Algorithm, Procedia Engineering, 2011, 15, pp. 489–495.Stano, P., Lendek, Z., Braaksma, J., Babuska, R., de Keizer, C., den Dekker, A.J., Parametric Bayesian filters for nonlinear stochastic dynamical systems: A survey, IEEE Trans. Cybernetics, 2013, vol. 43, no. 6, pp. 1607–1624.Stano, P., Lendek, Z., Braaksma, J., Babuska, R., de Keizer, C., den Dekker, A.J., Parametric Bayesian filters for nonlinear stochastic dynamical systems: A survey, IEEE Trans. Cybernetics, 2013, vol. 43, no. 6, pp. 1607–1624.Afshari, H.H., Gadsden, S.A., Habibi, S., Gaussian filters for parameter and state estimation: A general review of theory and recent trends, Signal Processing, 2017, vol. 135, pp. 218–238.Afshari, H.H., Gadsden, S.A., Habibi, S., Gaussian filters for parameter and state estimation: A general review of theory and recent trends, Signal Processing, 2017, vol. 135, pp. 218–238.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации / изд. 3-е, исправленное и дополненное. Ч. 1. Введение в теорию оценивания, СПб.:Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации / изд. 3-е, исправленное и дополненное. Ч. 1. Введение в теорию оценивания, СПб.:ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 509 с.ГНЦ РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 509 с.Руденко Е.А. Сопоставление алгоритмов стохастической фильтрации // ХХХII конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова, 2020. С. 295–300.Руденко Е.А. Сопоставление алгоритмов стохастической фильтрации // ХХХII конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова, 2020. С. 295–300.Тупысев В.А., Литвиненко Ю.А., Исаев А.М. Применение фильтров калмановского типа для обработки навигационной информации при нелинейности в уравнениях динамики и измерений // XXVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Сборник материалов. 2020. С. 360–363.Тупысев В.А., Литвиненко Ю.А., Исаев А.М. Применение фильтров калмановского типа для обработки навигационной информации при нелинейности в уравнениях динамики и измерений // XXVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Сборник материалов. 2020. С. 360–363.Julier, S.J., Uhlmann, J.K., Unscented filtering and nonlinear estimation, Proceedings of the IEEE, 2004, vol. 92(3), pp. 401–422.Julier, S.J., Uhlmann, J.K., Unscented filtering and nonlinear estimation, Proceedings of the IEEE, 2004, vol. 92(3), pp. 401–422.Crassidis, J.L., Sigma-point Kalman filtering for integrated GPS and inertial navigation, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2006, vol. 42, no. 2, pp. 750–756.Crassidis, J.L., Sigma-point Kalman filtering for integrated GPS and inertial navigation, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2006, vol. 42, no. 2, pp. 750–756.Šimandl, M., Straka, O., and Duník, J., Efficient adaptation of design parameters of derivative-free filters, 2016, Automation and Remote Control, vol. 77(2), pp. 261–276,Šimandl, M., Straka, O., and Duník, J., Efficient adaptation of design parameters of derivative-free filters, 2016, Automation and Remote Control, vol. 77(2), pp. 261–276,Шаврин В.В., Тисленко В.И., Лебедев В.Ю., Конаков А.С., Филимонов В.А., Кравец А.П. Квазиоптимальная оценка параметров сигналов ГНСС в режиме когерентного приема с использованием алгоритма сигма-точечного фильтра Калмана // Гироскопия и навигация. 2016. № 3 (94). С. 26–37.Шаврин В.В., Тисленко В.И., Лебедев В.Ю., Конаков А.С., Филимонов В.А., Кравец А.П. Квазиоптимальная оценка параметров сигналов ГНСС в режиме когерентного приема с использованием алгоритма сигма-точечного фильтра Калмана // Гироскопия и навигация. 2016. № 3 (94). С. 26–37.Аль Битар Н., Гаврилов А.И. Сравнительный анализ алгоритмов комплексирования в слабосвязанной инерциально-спутниковой системе на основе обработки реальных данных // Гироскопия и навигация. 2019. Т. 27. №3. С. 31–52.Аль Битар Н., Гаврилов А.И. Сравнительный анализ алгоритмов комплексирования в слабосвязанной инерциально-спутниковой системе на основе обработки реальных данных // Гироскопия и навигация. 2019. Т. 27. №3. С. 31–52.Kulikov, G.Yu., Kulikova, M.V., A Comparative Study of Kalman-like Filters for State Estimation of Turning Aircraft in Presence of Glint Noise, Proceedings of IFAC-V, 2020, Germany.Kulikov, G.Yu., Kulikova, M.V., A Comparative Study of Kalman-like Filters for State Estimation of Turning Aircraft in Presence of Glint Noise, Proceedings of IFAC-V, 2020, Germany.Zhankue Zhao, Rong, X., Li, V., Jilkov, P., Best Linear Unbiased Filtering with Nonlinear Measurements for Target Tracking, IEEE Transactions on aerospace and electronic systems, 2004, vol. 40, no. 4, pp. 1324–1336.Zhankue Zhao, Rong, X., Li, V., Jilkov, P., Best Linear Unbiased Filtering with Nonlinear Measurements for Target Tracking, IEEE Transactions on aerospace and electronic systems, 2004, vol. 40, no. 4, pp. 1324–1336.Степанов О.А. Линейный оптимальный алгоритм в нелинейных задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2006. № 4 (55). С. 11–20.Степанов О.А. Линейный оптимальный алгоритм в нелинейных задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2006. № 4 (55). С. 11–20.Степанов О.А., Торопов А.Б. Сравнительное исследование линейного и нелинейного оптимальных алгоритмов в задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2010. № 3 (70). С. 24–36.Степанов О.А., Торопов А.Б. Сравнительное исследование линейного и нелинейного оптимальных алгоритмов в задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2010. № 3 (70). С. 24–36.Nørgaard, M., Poulsen, N.K., Ravn, O., New Developments in State Estimation for Nonlinear Systems, Automatica, 2000, vol. 36, issue 11, pp. 1627–1638.Nørgaard, M., Poulsen, N.K., Ravn, O., New Developments in State Estimation for Nonlinear Systems, Automatica, 2000, vol. 36, issue 11, pp. 1627–1638.Arasaratnam, I., Haykin, S., Elliott, R.J., Discrete-Time Nonlinear Filtering Algorithms using GaussHermite Quadrature, Proceedings of the IEEE, 2007, vol. 95, №5, pp. 953–977.Arasaratnam, I., Haykin, S., Elliott, R.J., Discrete-Time Nonlinear Filtering Algorithms using GaussHermite Quadrature, Proceedings of the IEEE, 2007, vol. 95, №5, pp. 953–977.Arasaratnam, I., Haykin, S., Cubature Kalman filters, IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(6), pp. 1254–1269.Arasaratnam, I., Haykin, S., Cubature Kalman filters, IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(6), pp. 1254–1269.Luhtala, J.A., Särkkä, S., and Piché, R., Gaussian filtering and variational approximations for Bayesian smoothing in continuous-discrete stochastic dynamic systems, Signal Processing, 2015, 111, 124–136.Luhtala, J.A., Särkkä, S., and Piché, R., Gaussian filtering and variational approximations for Bayesian smoothing in continuous-discrete stochastic dynamic systems, Signal Processing, 2015, 111, 124–136.Кошаев Д.А. Многоальтернативный алгоритм одномаяковой навигации автономного необитаемого подводного аппарата без априорных данных о его местоположении. Часть 1. Математическое описание // Гироскопия и навигация. 2020. Т. 28. №2 (109). С. 109–130.Кошаев Д.А. Многоальтернативный алгоритм одномаяковой навигации автономного необитаемого подводного аппарата без априорных данных о его местоположении. Часть 1. Математическое описание // Гироскопия и навигация. 2020. Т. 28. №2 (109). С. 109–130.Basin, M. and Hernandez-Gonzalez, M., Discrete-time filtering for nonlinear polynomial systems over linear observations, International Journal of Systems Science, 2014, vol. 45(7), pp. 1461–1472.Basin, M. and Hernandez-Gonzalez, M., Discrete-time filtering for nonlinear polynomial systems over linear observations, International Journal of Systems Science, 2014, vol. 45(7), pp. 1461–1472.Басин М.В. Среднеквадратическая фильтрация состояния полиномиальных стохастических систем с мультипликативным шумом // Автоматика и телемеханика. 2016. №2. С. 69–93.Басин М.В. Среднеквадратическая фильтрация состояния полиномиальных стохастических систем с мультипликативным шумом // Автоматика и телемеханика. 2016. №2. С. 69–93.Hernandez-Gonzalez, M., Basin, M., and Stepanov, O.A., Discrete-time state estimation for stochastic polynomial systems over polynomial observations, International Journal of General Systems, 2018, vol. 47(5), pp. 512–528.Hernandez-Gonzalez, M., Basin, M., and Stepanov, O.A., Discrete-time state estimation for stochastic polynomial systems over polynomial observations, International Journal of General Systems, 2018, vol. 47(5), pp. 512–528.Toropov, A.B., Stepanov, O.A., Basin, M.V., Vasiliev, V.A., Loparev, A.B., Polynomial Filtering Algorithm For Single-Beacon Navigation Problem, 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (CAO 2018), IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, issue 32, pp. 619–623.Toropov, A.B., Stepanov, O.A., Basin, M.V., Vasiliev, V.A., Loparev, A.B., Polynomial Filtering Algorithm For Single-Beacon Navigation Problem, 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (CAO 2018), IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, issue 32, pp. 619–623.Степанов О.А., Торопов А.Б., Васильев В.А. Решение задачи навигации по геофизическим полям с использованием алгоритма полиномиальной фильтрации // Юбилейная XXV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. 2018. С. 69–72.Степанов О.А., Торопов А.Б., Васильев В.А. Решение задачи навигации по геофизическим полям с использованием алгоритма полиномиальной фильтрации // Юбилейная XXV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. 2018. С. 69–72.Stepanov, O. A., Vasiliev, V.A., Toropov, A.B., Loparev, A.V., Basin, М.V., Efficiency analysis of a filtering algorithm for discrete-time linear stochastic systems with polynomial measurement, Journal of the Franklin Institute, 2019, vol. 356, pp. 5573–5591.Stepanov, O. A., Vasiliev, V.A., Toropov, A.B., Loparev, A.V., Basin, М.V., Efficiency analysis of a filtering algorithm for discrete-time linear stochastic systems with polynomial measurement, Journal of the Franklin Institute, 2019, vol. 356, pp. 5573–5591.Васильев В.А. Применение алгоритма полиномиальной фильтрации в задаче идентификации параметров узкополосного процесса // Навигация и управление движением. Сборник тезисов докладов Международного семинара / под общей редакцией И.В. Белоконова. Самара, 2020. С. 79–81.Васильев В.А. Применение алгоритма полиномиальной фильтрации в задаче идентификации параметров узкополосного процесса // Навигация и управление движением. Сборник тезисов докладов Международного семинара / под общей редакцией И.В. Белоконова. Самара, 2020. С. 79–81.Торопов А.Б., Лопарев А.В., Пелевин А.Е. Сравнение алгоритмов оценивания местоположения подводного аппарата при одномаяковой навигации // ХХХII конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова. 2020. С. 332–336.Торопов А.Б., Лопарев А.В., Пелевин А.Е. Сравнение алгоритмов оценивания местоположения подводного аппарата при одномаяковой навигации // ХХХII конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова. 2020. С. 332–336.Stepanov, O.A., Vasiliev, V.A., Basin, М.V., Tupysev, V.A., Litvinenko, Y.A., Efficiency Analysis of Polynomial Filtering Algorithms in Navigation Data Processing for a Class of Nonlinear Discrete Dynamical Systems, IET Control Theory & Applications, 2021, 15, pp. 248–559.Stepanov, O.A., Vasiliev, V.A., Basin, М.V., Tupysev, V.A., Litvinenko, Y.A., Efficiency Analysis of Polynomial Filtering Algorithms in Navigation Data Processing for a Class of Nonlinear Discrete Dynamical Systems, IET Control Theory & Applications, 2021, 15, pp. 248–559.Пелевин А.Е. Идентификация параметров модели объекта в условиях внешних возмущений // Гироскопия и навигация. 2014. №4 (87). С. 111–120.Пелевин А.Е. Идентификация параметров модели объекта в условиях внешних возмущений // Гироскопия и навигация. 2014. №4 (87). С. 111–120.Дэнхем В.Ф., Пайнз С. Методы вычисления последовательной оценки для случая, когда нелинейность функции измерения сравнима по величине с ошибкой измерения // Ракетная техника и космонавтика. 1966. №6. С. 142–150.Дэнхем В.Ф., Пайнз С. Методы вычисления последовательной оценки для случая, когда нелинейность функции измерения сравнима по величине с ошибкой измерения // Ракетная техника и космонавтика. 1966. №6. С. 142–150.Логинов В.П., Устинов Н.Д. Приближенные алгоритмы нелинейной фильтрации // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. Ч. I. № 2. С. 28–48; 1976. Ч. 2. №3. С. 3–28.Логинов В.П., Устинов Н.Д. Приближенные алгоритмы нелинейной фильтрации // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. Ч. I. № 2. С. 28–48; 1976. Ч. 2. №3. С. 3–28.Henriksen, R., The truncated second-order nonlinear filter revisited, IEEE Transactions on Automatic Control, 1982, AC-27(1), pp. 247–251.Henriksen, R., The truncated second-order nonlinear filter revisited, IEEE Transactions on Automatic Control, 1982, AC-27(1), pp. 247–251.Белман Р. Введение в теорию матриц. Москва: Наука, 1976. 351 с.Белман Р. Введение в теорию матриц. Москва: Наука, 1976. 351 с.Schön, Th., Gustafsson, F., and Nordlund, P.-J., Marginalized Particle Filters for Mixed Linear/ Nonlinear State-Space Models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, (53), 7, 2279–2289.Schön, Th., Gustafsson, F., and Nordlund, P.-J., Marginalized Particle Filters for Mixed Linear/ Nonlinear State-Space Models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, (53), 7, 2279–2289.Степанов О.А., Торопов А.Б. Применение последовательных методов Монте-Карло с использованием процедур аналитического интегрирования при обработке навигационной информации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2014. С. 3324–3337.Степанов О.А., Торопов А.Б. Применение последовательных методов Монте-Карло с использованием процедур аналитического интегрирования при обработке навигационной информации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2014. С. 3324–3337.Берковский Н.А., Степанов О.А. Исследование погрешности вычисления оптимальной байесовской оценки методом Монте-Карло в нелинейных задачах// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2013. №3. С. 16–23.Берковский Н.А., Степанов О.А. Исследование погрешности вычисления оптимальной байесовской оценки методом Монте-Карло в нелинейных задачах// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2013. №3. С. 16–23.Болотин Ю.В., Брагин А.В., Гулевский Д.В. Исследование состоятельности расширенного фильтра Калмана в задаче навигации пешехода с БИНС, закрепленными на стопах // Гироскопия и навигация. 2021. Том 29. №2 (113). С. 59–77.Болотин Ю.В., Брагин А.В., Гулевский Д.В. Исследование состоятельности расширенного фильтра Калмана в задаче навигации пешехода с БИНС, закрепленными на стопах // Гироскопия и навигация. 2021. Том 29. №2 (113). С. 59–77.Kendrick, D., Stochastic control for economic models, McGraw-Hil, New-York, 1981, 242 p.Kendrick, D., Stochastic control for economic models, McGraw-Hil, New-York, 1981, 242 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.