gyroscopyГироскопия и навигацияGiroskopiya i Navigatsiya / Gyroscopy and Navigation0869-70352075-0927AO «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»TSZRNQgyroscopy-190Research ArticleСтатьиУточнение глобальных характеристик гравитационного поля Земли до пятого приближения теории Молоденского на основании аналитического продолженияClarifying the Global Characteristics of the Earth’s Gravitational Field to the Fifth Approximation of Molodensky’s Theory Based on Analytic Continuationhttps://orcid.org/0000-0001-7057-1595КанушинВ. Ф.KanushinV. F.

Канушин Вадим Федорович, кандидат технических наук, доцент, кафедра космической и физической геодезии

Novosibirsk

https://orcid.org/0000-0002-2678-7636ГолдобинД. Н.GoldobinD. N.

Голдобин Денис Николаевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра космической и физической геодезии

Novosibirsk

https://orcid.org/0000-0002-8543-8276ГанагинаИ. Г.GanaginaI. G.

Ганагина Ирина Геннадьевна, кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой космической и физической геодезии

Novosibirsk

https://orcid.org/0009-0002-2358-4275ИнжеватовИ. А.InzhevatovI. A.

Инжеватов Иван Александрович, инженер, кафедра космической и физической геодезии

Novosibirsk

Сибирский государственный университет геосистем и технологийРоссияSiberian State University of Geosystems and TechnologiesRussian Federation2025241020253336587Copyright © Канушин В.Ф., Голдобин Д.Н., Ганагина И.Г., Инжеватов И.А., 20252025Канушин В.Ф., Голдобин Д.Н., Ганагина И.Г., Инжеватов И.А.Kanushin V.F., Goldobin D.N., Ganagina I.G., Inzhevatov I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.gyroscopy.ru/jour/article/view/190

В работе уточнены глобальные характеристики гравитационного поля Земли до пятого приближения теории Молоденского. Вычисления производились на основе аналитического продолжения аномалий силы тяжести (АСТ) в свободном воздухе с физической поверхности Земли к отсчетной сферической поверхности, проходящей через расчетную точку, с помощью ряда Тейлора. Приведены картосхемы цифровых глобальных моделей вертикальных градиентов АСТ до пятого приближения и получены глобальные поправочные члены для высот квазигеоида и уклонения отвесной линии (УОЛ) первого, второго, третьего, четвертого и пятого приближения теории Молоденского. Показано, что градиентное решение позволяет уточнить глобальные характеристики гравитационного поля Земли. При уточнении высот квазигеоида по формуле Стокса в равнинных районах достаточно второго приближения теории Молоденского, а для горных районов – четвертого. При уточнении составляющих УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала стандартная погрешность увеличивается со второго приближения.

The global characteristics of the Earth’s gravity field are refined to the fifth approximation of Molodensky’s theory. The calculations were based on the analytical continuation of free-air gravity anomalies from the Earth’s physical surface to the reference spherical surface passing through the calculated point, using a Taylor series. Maps of digital global models of gravity anomaly vertical gradients to the fifth order are presented, and global correction terms are obtained for quasigeoid heights and deflections of the vertical (DOV) for the first, second, third, fourth, and fifth approximations of Molodensky’s theory.

It is shown that the gradient solution makes it possible to refine the global characteristics of the Earth’s gravity field. When refining quasigeoid heights using the Stokes formula, the second approximation of Molodensky’s theory is sufficient for plains, while for mountainous areas, the fourth one. When refining the DOV components in the plane of the meridian and the first vertical, the standard error increases from the second approximation.

высота квазигеоидасоставляющие уклонения отвесной линиианомалии силы тяжестивертикальные градиенты аномалии силы тяжестирельеф Землиряд ТейлораГНСС-нивелированиеастрономо-геодезические уклонения отвесной линиибыстрое преобразование Фурьеquasigeoid heightDOV componentsgravity anomaliesvertical gradients of gravity anomaliesEarth’s reliefTaylor seriesGNSS levelingastronomical and geodetic DOVfast Fourier transformИсследование выполнено в рамках СЧ НИР «ГЕОТЕХ-КВАНТ-3» с целью создания высокоточных моделей геопотенциального поля Земли и его характеристик на территории РФ.ReferencesМолоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.B. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли // Труды ЦНИИГАиК. 1960. Вып. 131. 250 с.Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.B. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли // Труды ЦНИИГАиК. 1960. Вып. 131. 250 с.Бровар В.В. О решениях краевой задачи Молоденского // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1963. Вып. 4. С. 129–137.Бровар В.В. О решениях краевой задачи Молоденского // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1963. Вып. 4. С. 129–137.Sansò, F, Sideris M., Geodetic Boundary Value Problem: the Equivalence between Molodensky’s and Helmert’s Solutions, Springer Briefs in Earth Sciences, 2017, 81 p., doi: 10.1007/978-3-319-46358-2.Sansò, F, Sideris M., Geodetic Boundary Value Problem: the Equivalence between Molodensky’s and Helmert’s Solutions, Springer Briefs in Earth Sciences, 2017, 81 p., doi: 10.1007/978-3-319-46358-2.A contribution to the mathematical foundation of physical geodesy, Geodaetisk institut, Meddelelse, 1969, no. 44, 80 р.A contribution to the mathematical foundation of physical geodesy, Geodaetisk institut, Meddelelse, 1969, no. 44, 80 р.Heiskanen, W.A., Moritz, H., Physical geodesy, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1967, 364 p.Heiskanen, W.A., Moritz, H., Physical geodesy, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1967, 364 p.Ecker, E., Uber die Equivalenz von Lösungen des geodätischen Randwert-problems, Österr. Z. Vermessungswesen, 1971, no. 59, pp. 97–105.Ecker, E., Uber die Equivalenz von Lösungen des geodätischen Randwert-problems, Österr. Z. Vermessungswesen, 1971, no. 59, pp. 97–105.Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1974. Вып. 3. С. 65–71.Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1974. Вып. 3. С. 65–71.Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора // Геодезия, картография и аэрофотосъемка. 1973. № 17. С. 26–33.Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора // Геодезия, картография и аэрофотосъемка. 1973. № 17. С. 26–33.Valko, M., Mojzeš, M., Janák, J., Papo, J., Comparison of two different solutions to Molodensky’s G 1 term, Studia Geophysica et Geodaetica, 2008, vol. 52, pp. 71−86, doi: 10.1007/S11200-008-0006-2.Valko, M., Mojzeš, M., Janák, J., Papo, J., Comparison of two different solutions to Molodensky’s G 1 term, Studia Geophysica et Geodaetica, 2008, vol. 52, pp. 71−86, doi: 10.1007/S11200-008-0006-2.Gad, M.A.H., Odalović, O., Naod, S., Possibility to determine highly precise geoid for Egypt territory, Geodetski vestnik, 2020, vol. 64, no. 4, pp. 578–593, doi: 10.15292/geodetski-vestnik.2020.04.578-593.Gad, M.A.H., Odalović, O., Naod, S., Possibility to determine highly precise geoid for Egypt territory, Geodetski vestnik, 2020, vol. 64, no. 4, pp. 578–593, doi: 10.15292/geodetski-vestnik.2020.04.578-593.Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Инжеватов И.А. Определение вертикального градиента аномалий силы тяжести методом численного дифференцирования // Международный научно-исследовательский журнал. 2024. № 9 (147). DOI: 10.60797/IRJ.2024.147.21.Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Инжеватов И.А. Определение вертикального градиента аномалий силы тяжести методом численного дифференцирования // Международный научно-исследовательский журнал. 2024. № 9 (147). DOI: 10.60797/IRJ.2024.147.21.Канушин В.Ф., Голдобин Д.Н., Ганагина И.Г. и др. Методы вычисления второго вертикального градиента аномалий силы тяжести // Международный научно-исследовательский журнал. 2025. №6 (156). DOI: 10.60797/IRJ.2025.156.81.Канушин В.Ф., Голдобин Д.Н., Ганагина И.Г. и др. Методы вычисления второго вертикального градиента аномалий силы тяжести // Международный научно-исследовательский журнал. 2025. №6 (156). DOI: 10.60797/IRJ.2025.156.81.Bruns, H., Die Figur der Erde, Publication des Königlich Preussischen geodätischen Institutes, 1878, 49 p.Bruns, H., Die Figur der Erde, Publication des Königlich Preussischen geodätischen Institutes, 1878, 49 p.Schwarz, K.P., Sideris, M.G., Forsberg, R., The Use of FFT Techniques in Physical Geodesy, Geophysical Journal International, 1990, no. 100, pp. 485–514, doi:10.1111/j.1365-246X.1990.tb00701.x.Schwarz, K.P., Sideris, M.G., Forsberg, R., The Use of FFT Techniques in Physical Geodesy, Geophysical Journal International, 1990, no. 100, pp. 485–514, doi:10.1111/j.1365-246X.1990.tb00701.x.Van Hees, G.L.S., Stokes formula using Fast Fourier Techniques, Determination of the Geoid. International Association of Geodesy Symposia, 1991, vol. 106, Springer, New York, NY, doi:10.1007/978-14612-3104-2_47.Van Hees, G.L.S., Stokes formula using Fast Fourier Techniques, Determination of the Geoid. International Association of Geodesy Symposia, 1991, vol. 106, Springer, New York, NY, doi:10.1007/978-14612-3104-2_47.Haagmans, R., de Mln, E., van Gelderen, M., Fast evaluation of convolution Integrals от the sphere using 1D-FFT, and a comparison with existing methods for Stokes integra, Manuscripta Geodaetica, 1993, vol. 18, pp. 82–90.Haagmans, R., de Mln, E., van Gelderen, M., Fast evaluation of convolution Integrals от the sphere using 1D-FFT, and a comparison with existing methods for Stokes integra, Manuscripta Geodaetica, 1993, vol. 18, pp. 82–90.Мориц Г. Современная физическая геодезия. Москва: Недра, 1983. 392 с.Мориц Г. Современная физическая геодезия. Москва: Недра, 1983. 392 с.Канушин В.Ф., Карпик А.П., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Косарев Н.С., Косарева А.М. Исследование современных глобальных моделей гравитационного поля Земли: монография. Новосибирск: СГУГиТ, 2015. 270 с.Канушин В.Ф., Карпик А.П., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Косарев Н.С., Косарева А.М. Исследование современных глобальных моделей гравитационного поля Земли: монография. Новосибирск: СГУГиТ, 2015. 270 с.Hirt, C., Rexer, M., Earth2014: 1 arc-min shape, topography, bedrock and ice-sheet models – available as gridded data and degree-10,800 spherical harmonics, International Journal of Applied EarthObservation and Geoinformation, 2015, no. 39, pp. 103–112, doi: 10.1016/j.jag.2015.03.001.Hirt, C., Rexer, M., Earth2014: 1 arc-min shape, topography, bedrock and ice-sheet models – available as gridded data and degree-10,800 spherical harmonics, International Journal of Applied EarthObservation and Geoinformation, 2015, no. 39, pp. 103–112, doi: 10.1016/j.jag.2015.03.001.Голдобин Д.Н., Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Инжеватов И.А. Применение градиентного решения третьего порядка для построения глобальной модели квазигеоида // Альманах современной метрологии. Сб. матер. III Научно-техн. конф. «Методы и средства навигации по геофизическим полям», 22–23 октября 2024 г., ФГУП «ВНИИФТРИ». 2025. №1 (41). С. 161–169.Голдобин Д.Н., Канушин В.Ф., Ганагина И.Г., Инжеватов И.А. Применение градиентного решения третьего порядка для построения глобальной модели квазигеоида // Альманах современной метрологии. Сб. матер. III Научно-техн. конф. «Методы и средства навигации по геофизическим полям», 22–23 октября 2024 г., ФГУП «ВНИИФТРИ». 2025. №1 (41). С. 161–169.Карпик А.П., Сапожников Г.А., Дюбанов А.В. Реализация проекта наземной инфраструктуры глобальной навигационной спутниковой системы «ГЛОНАСС» на территории Новосибирской области // Сб. матер. VI Междунар. конгр. «ГЕО-Сибирь-2010». Новосибирск, 2010. С. 54–59.Карпик А.П., Сапожников Г.А., Дюбанов А.В. Реализация проекта наземной инфраструктуры глобальной навигационной спутниковой системы «ГЛОНАСС» на территории Новосибирской области // Сб. матер. VI Междунар. конгр. «ГЕО-Сибирь-2010». Новосибирск, 2010. С. 54–59.Карпик А.П., Середович С.В., Твердовский О.В., Решетов А.П. Научно-технический отчет по созданию на территории НСО наземной инфраструктуры для обеспечения эффективного использования глобальной навигационной спутниковой системы ГЛОНАСС. Новосибирск, 2010.Карпик А.П., Середович С.В., Твердовский О.В., Решетов А.П. Научно-технический отчет по созданию на территории НСО наземной инфраструктуры для обеспечения эффективного использования глобальной навигационной спутниковой системы ГЛОНАСС. Новосибирск, 2010.Косарев Н.С., Канушин В.Ф., Кафтан В.И., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Ефимов Г.Н. О результатах сравнения определения уклонений отвесной линии на территории Западной Сибири // Гироскопия и навигация. 2017. Т. 25. №4 (99). С. 72–83.Косарев Н.С., Канушин В.Ф., Кафтан В.И., Ганагина И.Г., Голдобин Д.Н., Ефимов Г.Н. О результатах сравнения определения уклонений отвесной линии на территории Западной Сибири // Гироскопия и навигация. 2017. Т. 25. №4 (99). С. 72–83.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.