gyroscopyГироскопия и навигацияGiroskopiya i Navigatsiya0869-70352075-0927AO «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»10.17285/0869-7035.0029gyroscopy-213Research ArticleСтатьиАлгоритм коррекции навигационной системы по данным карты и измерителя, не требующий предварительного оценивания значений поля вдоль пройденной траекторииA Map-Aided Navigation Algorithm without Preprocessing of Field MeasurementsСтепановО. А.StepanovO. A.

Степанов Олег Андреевич. Член-корреспондент РАН, доктор технических наук, начальник научно-образовательного центра, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО (С.-Петербург). Вице-президент общественного объединения «Академия навигации и управления движением».

НосовА. С.NosovA. S.

Носов Алексей Сергеевич. Младший научный сотрудник

АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО (С.-Петербург)РоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC, St. Petersburg, Russia; ITMO University, St. Petersburg, RussiaRussian Federation2020101120252827090Copyright © Степанов О.А., Носов А.С., 20252025Степанов О.А., Носов А.С.Stepanov O.A., Nosov A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.gyroscopy.ru/jour/article/view/213

Предложен алгоритм коррекции навигационной системы по данным карты и измерителя, не требующий предварительного оценивания значений поля вдоль пройденной траектории. Алгоритм в полном объеме использует доступную измерительную информацию о поле и не предполагает введения его модели. Описана процедура анализа точности, используемая для оценки эффективности алгоритма. Рассмотрены особенности и достоинства предлагаемого алгоритма, которые проиллюстрированы на примере коррекции показаний морской навигационной системы по данным карты аномалии силы тяжести и измерениям гравиметра.

A new algorithm for geophysical map-aided navigation is proposed. It does not require any preliminary estimation of the field measured along the vehicle trajectory and, as consequence, does not need any stochastic field model. The algorithm uses a whole set of the available geophysical field measurements. The accuracy analysis procedure applied to estimate the effectiveness of the proposed algorithm is described. The features and advantages of this algorithm are illustrated by an example of marine gravity-aided navigation.

Навигация по геофизическим полямбайесовский подходоптимальный нелинейный алгоритм оцениванияпредварительная обработка измеренийсравнительный анализ точностиMap-aided navigationgeophysical fieldsBayesian estimationoptimal nonlinear algorithmpreprocessingcomparative accuracy analysis.ReferencesКрасовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. М.: Наука, 1979. 448 с.Красовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. М.: Наука, 1979. 448 с.Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. М.: Наука, 1985. 327 с.Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. М.: Наука, 1985. 327 с.Степанов О.А. Методы оценки потенциальной точности в корреляционно-экстремальных навигационных системах. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 1993. 85 с.Степанов О.А. Методы оценки потенциальной точности в корреляционно-экстремальных навигационных системах. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 1993. 85 с.Bergman, N., Recursive Bayesian estimation: Navigation and tracking applications, Sweden, Linkoping University, 1999, 219 p.Bergman, N., Recursive Bayesian estimation: Navigation and tracking applications, Sweden, Linkoping University, 1999, 219 p.Gustafsson, F. et al., Particle filters for positioning, navigation, and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no. 2, pp. 425–437.Gustafsson, F. et al., Particle filters for positioning, navigation, and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no. 2, pp. 425–437.Nygren, I., Jansson, M., Terrain Navigation for Underwater Vehicles Using the Correlator Method, IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2004, vol. 29, no. 3, pp. 906–915.Nygren, I., Jansson, M., Terrain Navigation for Underwater Vehicles Using the Correlator Method, IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2004, vol. 29, no. 3, pp. 906–915.Carreno, S. et al., A survey on Terrain Based Navigation for AUVs, OCEANS 2010 MTS, IEEE Seattle, IEEE, 2010, pp. 1–7.Carreno, S. et al., A survey on Terrain Based Navigation for AUVs, OCEANS 2010 MTS, IEEE Seattle, IEEE, 2010, pp. 1–7.Vaman, D., TRN history, trends and the unused potential, 2012 IEEE/AIAA 31st Digital Avionics Systems Conference (DASC), IEEE, 2012, pp. 1A3-1–1A3-16.Vaman, D., TRN history, trends and the unused potential, 2012 IEEE/AIAA 31st Digital Avionics Systems Conference (DASC), IEEE, 2012, pp. 1A3-1–1A3-16.Августов Л.И. и др. Навигация летательных аппаратов в околоземном пространстве. М.: Научтехлитиздат, 2015. 592 с.Августов Л.И. и др. Навигация летательных аппаратов в околоземном пространстве. М.: Научтехлитиздат, 2015. 592 с.Джанджгава Г.И., Августов Л.И. Навигация по геополям. М.: Научтехлитиздат, 2018. 296 с.Джанджгава Г.И., Августов Л.И. Навигация по геополям. М.: Научтехлитиздат, 2018. 296 с.Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 1. Обзор алгоритмов // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 23. №3. С. 102–125.Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 1. Обзор алгоритмов // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 23. №3. С. 102–125.Щербинин В.В. Построение инвариантных корреляционно-экстремальных систем навигации и наведения летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ, 2011. 220 с.Щербинин В.В. Построение инвариантных корреляционно-экстремальных систем навигации и наведения летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ, 2011. 220 с.Han, Y., et al., An Improved TERCOM-Based Algorithm for Gravity-Aided Navigation, IEEE Sensors Journal, 2016, vol. 16, no. 8, pp. 2537–2544.Han, Y., et al., An Improved TERCOM-Based Algorithm for Gravity-Aided Navigation, IEEE Sensors Journal, 2016, vol. 16, no. 8, pp. 2537–2544.Wei, E., et al., A Robust Solution of Integrated SITAN with TERCOM Algorithm: Weight-Reducing Iteration Technique for Underwater Vehicles’ Gravity-Aided Inertial Navigation System: A Robust Solution of Integrated SITAN with TERCOM, Navigation, 2017, vol. 64, no. 1, pp. 111–122.Wei, E., et al., A Robust Solution of Integrated SITAN with TERCOM Algorithm: Weight-Reducing Iteration Technique for Underwater Vehicles’ Gravity-Aided Inertial Navigation System: A Robust Solution of Integrated SITAN with TERCOM, Navigation, 2017, vol. 64, no. 1, pp. 111–122.Сазонова Т.В., Шелагурова М.С. Геоинформация в комплексах бортового оборудования летательных аппаратов. М.: Научтехлитиздат, 2018. 146 с.Сазонова Т.В., Шелагурова М.С. Геоинформация в комплексах бортового оборудования летательных аппаратов. М.: Научтехлитиздат, 2018. 146 с.Melo J., Matos, A., Survey on advances on terrain based navigation for autonomous underwater vehicles, Ocean Engineering, 2017, vol. 139, pp. 250–264.Melo J., Matos, A., Survey on advances on terrain based navigation for autonomous underwater vehicles, Ocean Engineering, 2017, vol. 139, pp. 250–264.Pasnani, P., Seto, M.L., Terrain-Based Localization and Mapping for Autonomous Underwater Vehicles using Particle Filters with Marine Gravity Anomalies, IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, no. 29, pp. 354–359.Pasnani, P., Seto, M.L., Terrain-Based Localization and Mapping for Autonomous Underwater Vehicles using Particle Filters with Marine Gravity Anomalies, IFAC-PapersOnLine, 2018, vol. 51, no. 29, pp. 354–359.Тезисы докладов I научно-технической конференции «Навигация по гравитационному полю Земли и ее метрологическое обеспечение». Менделеево: ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений», 2017. 146 с.Тезисы докладов I научно-технической конференции «Навигация по гравитационному полю Земли и ее метрологическое обеспечение». Менделеево: ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений», 2017. 146 с.Тезисы докладов II научно-технической конференции «Навигация по гравитационному и магнитному полям земли. Новые технологии». Менделеево: ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений», 2019. 103 с.Тезисы докладов II научно-технической конференции «Навигация по гравитационному и магнитному полям земли. Новые технологии». Менделеево: ФГУП «Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений», 2019. 103 с.Zhou, T., et al., Adaptive particle filter based on Kullback-Leibler distance for underwater terrain aided navigation with multi-beam sonar, IET Radar, Sonar and Navigation, 2018, vol. 12, no. 4, pp. 433–441.Zhou, T., et al., Adaptive particle filter based on Kullback-Leibler distance for underwater terrain aided navigation with multi-beam sonar, IET Radar, Sonar and Navigation, 2018, vol. 12, no. 4, pp. 433–441.Костоусов В.Б., Тарханов А.Е. Новый метод оценки ошибок коррекции координат по карте геофизического поля // Технические Проблемы освоения мирового океана. 2019. № 8. С. 347–351.Костоусов В.Б., Тарханов А.Е. Новый метод оценки ошибок коррекции координат по карте геофизического поля // Технические Проблемы освоения мирового океана. 2019. № 8. С. 347–351.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 1998. 370 с.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 1998. 370 с.Doucet, A., Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, Springer New York, 2001, 590 p.Doucet, A., Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, Springer New York, 2001, 590 p.Chen, Z., Bayesian filtering: From Kalman filters to particle filters, and beyond, Statistics, 2003, vol. 182, no. 1, pp. 1–69.Chen, Z., Bayesian filtering: From Kalman filters to particle filters, and beyond, Statistics, 2003, vol. 182, no. 1, pp. 1–69.Sarkka, S., Bayesian Filtering and Smoothing, New York, NY, USA: Cambridge University Press, 2013, 254 p.Sarkka, S., Bayesian Filtering and Smoothing, New York, NY, USA: Cambridge University Press, 2013, 254 p.Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 2. Современные тенденции развития // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 91. №4. С. 147–159.Степанов О.А., Торопов А.Б. Методы нелинейной фильтрации в задаче навигации по геофизическим полям. Ч. 2. Современные тенденции развития // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 91. №4. С. 147–159.Candy, J.V., Bayesian Signal Processing: Classical, Modern, and Particle Filtering Methods, 2nd ed., New Jersey, Wiley, 2016, 630 p.Candy, J.V., Bayesian Signal Processing: Classical, Modern, and Particle Filtering Methods, 2nd ed., New Jersey, Wiley, 2016, 630 p.Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли / ред. В.Г. Пешехонов, О.А. Степанов. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 390 с.Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли / ред. В.Г. Пешехонов, О.А. Степанов. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 390 с.Daum, F., Huang, J., Curse of dimensionality and particle filters, IEEE Aerospace Conference Proceedings (Cat. No.03TH8652), IEEE Aerospace (Cat. No.03TH8652), Big Sky, Montana, USA 2003, vol. 4, pp. 1979–1993.Daum, F., Huang, J., Curse of dimensionality and particle filters, IEEE Aerospace Conference Proceedings (Cat. No.03TH8652), IEEE Aerospace (Cat. No.03TH8652), Big Sky, Montana, USA 2003, vol. 4, pp. 1979–1993.Serin, E., Adali, S., Balcisoy, S., Entropy assisted automated terrain navigation using traveling salesman problem, Proceedings of the 10th International Conference on Virtual Reality Continuum and Its Applications in Industry, ACM Press, 2011, pp. 41–48.Serin, E., Adali, S., Balcisoy, S., Entropy assisted automated terrain navigation using traveling salesman problem, Proceedings of the 10th International Conference on Virtual Reality Continuum and Its Applications in Industry, ACM Press, 2011, pp. 41–48.Wang, K., et al., Matching error of the iterative closest contour point algorithm for terrain-aided navigation, Aerospace Science and Technology, 2018, vol. 73, pp. 210–222.Wang, K., et al., Matching error of the iterative closest contour point algorithm for terrain-aided navigation, Aerospace Science and Technology, 2018, vol. 73, pp. 210–222.Gao, W., et al., Improved Artificial Bee Colony Algorithm Based Gravity Matching Navigation Method, Sensors, 2014, vol. 14, no. 7, pp. 12968–12989.Gao, W., et al., Improved Artificial Bee Colony Algorithm Based Gravity Matching Navigation Method, Sensors, 2014, vol. 14, no. 7, pp. 12968–12989.Wu, L., et al., Performance Evaluation and Analysis for Gravity Matching Aided Navigation, Sensors, 2017, vol. 17, no. 4, p. 769.Wu, L., et al., Performance Evaluation and Analysis for Gravity Matching Aided Navigation, Sensors, 2017, vol. 17, no. 4, p. 769.Носов А.С., Степанов О.А. Анализ влияния предварительной обработки измерений на точность решения задачи навигации по геофизическому полю // Труды XXV Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2018. С. 64–68.Носов А.С., Степанов О.А. Анализ влияния предварительной обработки измерений на точность решения задачи навигации по геофизическому полю // Труды XXV Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2018. С. 64–68.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. Введение в теорию оценивания / Издание 3-е, исправленное и дополненное. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 509 с.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. Введение в теорию оценивания / Издание 3-е, исправленное и дополненное. Санкт-Петербург: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 509 с.Болотин Ю.В., Вязьмин В.С. Методы L2 и минимаксного оценивания в задаче определения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-разложения // Гироскопия и навигация. 2015. №3. С. 82–94.Болотин Ю.В., Вязьмин В.С. Методы L2 и минимаксного оценивания в задаче определения аномалии силы тяжести по данным аэрогравиметрии с использованием сферического вейвлет-разложения // Гироскопия и навигация. 2015. №3. С. 82–94.Пантелеев В.Л. Фильтрация в задачах инерциальной гравиметрии. LAP LAMBERT ACADEMIC PUBL, 2012. 52 с.Пантелеев В.Л. Фильтрация в задачах инерциальной гравиметрии. LAP LAMBERT ACADEMIC PUBL, 2012. 52 с.Степанов О.А. и др. Сравнительный анализ точности оценивания аномалий ускорения силы тяжести в режиме фильтрации и сглаживания // Всероссийская научная конференция по проблемам управления в технических системах. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина), 2015. С. 384–387.Степанов О.А. и др. Сравнительный анализ точности оценивания аномалий ускорения силы тяжести в режиме фильтрации и сглаживания // Всероссийская научная конференция по проблемам управления в технических системах. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина), 2015. С. 384–387.Краснов А.А., Соколов А.В. Современный комплекс программно-математического обеспечения мобильного гравиметра «Чекан-АМ» // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 89. № 2. С. 118–131.Краснов А.А., Соколов А.В. Современный комплекс программно-математического обеспечения мобильного гравиметра «Чекан-АМ» // Гироскопия и навигация. 2015. Т. 89. № 2. С. 118–131.Koshaev, D.A., Stepanov, O.A., Analysis of filtering and smoothing techniques as applied to aerogravimetry, Gyroscopy and Navigation, 2010, vol. 1, no. 1, pp. 19–25.Koshaev, D.A., Stepanov, O.A., Analysis of filtering and smoothing techniques as applied to aerogravimetry, Gyroscopy and Navigation, 2010, vol. 1, no. 1, pp. 19–25.Arulampalam, M.S., et al., A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no. 2, pp. 174–188.Arulampalam, M.S., et al., A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no. 2, pp. 174–188.Anonsen, K.B., Hallingstad, O., Terrain Aided Underwater Navigation Using Point Mass and Particle Filters, IEEE/ION Position, Location, And Navigation Symposium 2006 IEEE/ION Position, Location, And Navigation Symposium, Coronado, CA, 2006, pp. 1027–1035.Anonsen, K.B., Hallingstad, O., Terrain Aided Underwater Navigation Using Point Mass and Particle Filters, IEEE/ION Position, Location, And Navigation Symposium 2006 IEEE/ION Position, Location, And Navigation Symposium, Coronado, CA, 2006, pp. 1027–1035.Степанов О., Торопов А. Сопоставление метода сеток и методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. 2010. С. 308–311.Степанов О., Торопов А. Сопоставление метода сеток и методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. 2010. С. 308–311.Schon, T., Gustafsson, F., Nordlund, P.-J., Marginalized particle filters for mixed linear/nonlinear statespace models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, vol. 53, no. 7, pp. 2279–2289.Schon, T., Gustafsson, F., Nordlund, P.-J., Marginalized particle filters for mixed linear/nonlinear statespace models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, vol. 53, no. 7, pp. 2279–2289.Kalman, R.E., A new approach to linear filtering and prediction problems, Journal of basic Engineering, 1960, vol. 82, no. 1, pp. 35–45.Kalman, R.E., A new approach to linear filtering and prediction problems, Journal of basic Engineering, 1960, vol. 82, no. 1, pp. 35–45.Rauch, H.E., Striebel, C.T., Tung, F., Maximum likelihood estimates of linear dynamic systems, AIAA Journal, 1965, vol. 3, no. 8, pp. 1445–1450.Rauch, H.E., Striebel, C.T., Tung, F., Maximum likelihood estimates of linear dynamic systems, AIAA Journal, 1965, vol. 3, no. 8, pp. 1445–1450.Киселев Л.В. и др. О гравиметрии с борта автономного подводного робота и оценках ее информативности для навигации по карте // Подводные исследования и робототехника. 2019. Т. 27. №1. С. 21–30.Киселев Л.В. и др. О гравиметрии с борта автономного подводного робота и оценках ее информативности для навигации по карте // Подводные исследования и робототехника. 2019. Т. 27. №1. С. 21–30.Болотин Ю.В., Голован А.А. О методах инерциальной гравиметрии // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. 2013. № 5. С. 59–67.Болотин Ю.В., Голован А.А. О методах инерциальной гравиметрии // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. 2013. № 5. С. 59–67.Motorin, A.V., Nosov, A.S., Accuracy and Sensitivity Analysis for Marine Gravimetry Algorithms in Dependence of Survey Conditions, 2019 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus), Saint Petersburg and Moscow, Russia, IEEE, 2019, pp. 1210–1215.Motorin, A.V., Nosov, A.S., Accuracy and Sensitivity Analysis for Marine Gravimetry Algorithms in Dependence of Survey Conditions, 2019 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus), Saint Petersburg and Moscow, Russia, IEEE, 2019, pp. 1210–1215.Stepanov, O.A., et al., Comparison of Stationary and Nonstationary Adaptive Filtering and Smoothing Algorithms for Gravity Anomaly Estimation on Board the Aircraft, Proceedings of 4th IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry: Static and Mobile Measurements (TG-SMM 2016), Saint-Petersburg, Russia, 2016, pp. 53–60.Stepanov, O.A., et al., Comparison of Stationary and Nonstationary Adaptive Filtering and Smoothing Algorithms for Gravity Anomaly Estimation on Board the Aircraft, Proceedings of 4th IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry: Static and Mobile Measurements (TG-SMM 2016), Saint-Petersburg, Russia, 2016, pp. 53–60.Болотин Ю.В., Попеленский М.Ю. Анализ точности решения задачи авиагравиметрии при идентификации параметров гравиметра в полете // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. №7. С. 167–180.Болотин Ю.В., Попеленский М.Ю. Анализ точности решения задачи авиагравиметрии при идентификации параметров гравиметра в полете // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. №7. С. 167–180.Sokolov, A.V., Krasnov, A.A., Zheleznyak, L.K., Improving the Accuracy of Marine Gravimeters, Gyroscopy and Navigation, 2019, vol. 10, no. 3, pp. 155–160.Sokolov, A.V., Krasnov, A.A., Zheleznyak, L.K., Improving the Accuracy of Marine Gravimeters, Gyroscopy and Navigation, 2019, vol. 10, no. 3, pp. 155–160.Stepanov, O.A., et al., Identification of Total Errors of Digital Maps and Sensors of Geophysical Fields, Proc. IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry “Static and Mobile Measurements”, Saint Petersburg, Russia, 2016, pp. 213–216.Stepanov, O.A., et al., Identification of Total Errors of Digital Maps and Sensors of Geophysical Fields, Proc. IAG Symposium on Terrestrial Gravimetry “Static and Mobile Measurements”, Saint Petersburg, Russia, 2016, pp. 213–216.Keating, P., Error estimation and optimization of gravity surveys, Geophysical Prospecting, 1995, vol. 43, no. 4, pp. 569–580.Keating, P., Error estimation and optimization of gravity surveys, Geophysical Prospecting, 1995, vol. 43, no. 4, pp. 569–580.Jordan, S.K., Self-consistent Statistical Models for Gravity Anomaly and Undulation of the Geoid, Journal of Geophysical Research, 1972, vol. 77, no. 20, pp. 3660–3670.Jordan, S.K., Self-consistent Statistical Models for Gravity Anomaly and Undulation of the Geoid, Journal of Geophysical Research, 1972, vol. 77, no. 20, pp. 3660–3670.Müller, S., Schüler, L., GSTools: Reverberating Red, Zenodo, 2019.Müller, S., Schüler, L., GSTools: Reverberating Red, Zenodo, 2019.Носов А.С., Степанов О.А., Торопов А.Б. Навигационная информативность геофизических полей и выбор траекторий в задаче уточнения координат с использованием карты // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. №5. С. 74–92.Носов А.С., Степанов О.А., Торопов А.Б. Навигационная информативность геофизических полей и выбор траекторий в задаче уточнения координат с использованием карты // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. №5. С. 74–92.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.