gyroscopyГироскопия и навигацияGiroskopiya i Navigatsiya / Gyroscopy and Navigation0869-70352075-0927AO «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»JRRMDQgyroscopy-475Research ArticleСтатьиОбобщенный метод частичного аналитического интегрирования в задачах обработки навигационной информацииExtended Rao-Blackwellisation Method for Navigation Estimation Problems.https://orcid.org/0000-0003-3640-3760СтепановО. А.StepanovО. А.

Степанов Олег Андреевич. Член-корреспондент РАН, доктор технических наук, начальник научно-образовательного центра, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»; Университет ИТМО (С.-Петербург). Вице-президент общественного объединения «Академия навигации и управления движением»

С.-Петербург

St. Petersburg

https://orcid.org/0000-0003-2111-0308ИсаевА. М.IsaevA. M.

Исаев Алексей Михайлович. Младший научный сотрудник

С.-Петербург

St. Petersburg

https://orcid.org/0000-0003-0768-0814ВасильевВ. А.VasilievV. A.

Васильев Владимир Андреевич. Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

С.-Петербург

St. Petersburg

АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»; Университет ИТМО; «Академия навигации и управления движением»РоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC; ITMO UniversityRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»; Университет ИТМОРоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC; ITMO UniversityRussian FederationАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»; Университет ИТМО; СПбГЭТУ «ЛЭТИ»РоссияConcern CSRI Elektropribor, JSC; ITMO University; Electrotechnical University LETIRussian Federation20251202202633478102Copyright © Степанов О.А., Исаев А.М., Васильев В.А., 20262026Степанов О.А., Исаев А.М., Васильев В.А.Stepanov О.А., Isaev A.M., Vasiliev V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.gyroscopy.ru/jour/article/view/475

Для решения задачи оценивания изменчивого вектора состояния, описываемого линейным стационарным уравнением по нелинейным измерениям в рамках байесовского подхода, предлагается обобщенный метод частичного аналитического интегрирования (ОМЧАИ) и построенный на его основе субоптимальный алгоритм. На примере решения задачи оценивания часто используемого при обработке навигационной информации марковского процесса, порожденного многократным интегрированием входного сигнала в виде белого шума, подробно поясняются особенности ОМЧАИ и основные этапы построения предложенного алгоритма. Его эффективность и достоинства по сравнению с обычным алгоритмом, основанным на методе Монте-Карло, иллюстрируются на примере решения задачи коррекции показаний навигационной системы по данным о рельефе дна в ее простейшем варианте. Обсуждаются подлежащие дальнейшему исследованию вопросы, связанные с применением ОМЧАИ при решении прикладных задач обработки навигационной и траекторной информации.

The paper considers the extended Rao-Blackwellisation method (ERB) proposed by the authors and the ERB-based suboptimal algorithm designed to solve the problem of estimating a variable state vector described by a linear stationary equation using nonlinear measurements within the Bayesian approach. The ERB features and the main stages of designing the proposed algorithm are explained by the example of solving a problem of estimating a Markov process frequently used in processing of navigation information, generated by multiple integration of an input signal in the form of white noise. The effectiveness and advantages of the proposed algorithm in comparison with the conventional Monte Carlo-based algorithm are illustrated by solving the map-aided navigation problem in its simplest formulation. Issues to be further studied, in particular, prospects for the ERB application in solving applied problems of navigation and trajectory information processing are discussed.

случайный процессквазидетерминированная и случайная составляющиеметод Монте-Карлометод частичного аналитического интегрированиялинеаризациязадача уточнения координат места по данным о рельефе дна.random processquasi-deterministic and random componentsMonte Carlo methodRao-Blackwellisation methodlinearizationmap-aided navigation.Работа проводилась при поддержке гранта РНФ № 23-19-00626, https://rscf.ru/project/23-19-00626/ReferencesСтепанов О.А. Методы оценки потенциальной точности в корреляционно-экстремальных навигационных системах. СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 1993. 84 с.Степанов О.А. Методы оценки потенциальной точности в корреляционно-экстремальных навигационных системах. СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 1993. 84 с.Ваулин Ю.В., Дубровин Ф.С., Щербатюк А.Ф. Некоторые алгоритмы определения неизвестного начального местоположения АНПА на основе информации от одномаяковой мобильной навигационной системы // Гироскопия и навигация. 2017. Т. 25. №1 (96). С. 64–77. DOI: 10.17285/0869-7035.2017.25.1.064-077. EDN YKGWIT.Ваулин Ю.В., Дубровин Ф.С., Щербатюк А.Ф. Некоторые алгоритмы определения неизвестного начального местоположения АНПА на основе информации от одномаяковой мобильной навигационной системы // Гироскопия и навигация. 2017. Т. 25. №1 (96). С. 64–77. DOI: 10.17285/0869-7035.2017.25.1.064-077. EDN YKGWIT.Кошаев Д.А. Многоальтернативный алгоритм одномаяковой навигации автономного необитаемого подводного аппарата без априорных данных о его местоположении. Часть 1. Математическое описание // Гироскопия и навигация. 2020. Т. 28. №2 (109). С. 109–130. DOI 10.17285/0869-7035.0035.Кошаев Д.А. Многоальтернативный алгоритм одномаяковой навигации автономного необитаемого подводного аппарата без априорных данных о его местоположении. Часть 1. Математическое описание // Гироскопия и навигация. 2020. Т. 28. №2 (109). С. 109–130. DOI 10.17285/0869-7035.0035.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2003. 370 с.Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2003. 370 с.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации Изд. 4-е, исправленное и дополненное. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2025.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации Изд. 4-е, исправленное и дополненное. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2025.Bar-Shalom, Y., Li, X., Kirubarajan, T., Estimation with applications to tracking and navigation, New York, Wiley–Interscience, 2001.Bar-Shalom, Y., Li, X., Kirubarajan, T., Estimation with applications to tracking and navigation, New York, Wiley–Interscience, 2001.Болотин Ю.В., Брагин А.В., Гулевский Д.В. Исследование состоятельности расширенного фильтра Калмана в задаче навигации пешехода с БИНС, закрепленными на стопах // Гироскопия и навигация. 2021. Т. 29. №2 (113). С. 59–77. DOI 10.17285/0869-7035.0063.Болотин Ю.В., Брагин А.В., Гулевский Д.В. Исследование состоятельности расширенного фильтра Калмана в задаче навигации пешехода с БИНС, закрепленными на стопах // Гироскопия и навигация. 2021. Т. 29. №2 (113). С. 59–77. DOI 10.17285/0869-7035.0063.Зарицкий В.С., Светник В.Б., Шимелевич Л.И. Метод Монте-Карло в задачах оптимальной обработки информации // Автоматика и телемеханика. 1975. № 12. С. 95–103.Зарицкий В.С., Светник В.Б., Шимелевич Л.И. Метод Монте-Карло в задачах оптимальной обработки информации // Автоматика и телемеханика. 1975. № 12. С. 95–103.Gordon, N., Salmond, D., Smith, A., Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation, IEEE Proc., F Radar Signal Process, 1993, vol. 140, no. 2, pp. 107–113.Gordon, N., Salmond, D., Smith, A., Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation, IEEE Proc., F Radar Signal Process, 1993, vol. 140, no. 2, pp. 107–113.Doucet, A., De Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, USA, Springer-Verlag, 2001.Doucet, A., De Freitas, N., Gordon, N., Sequential Monte Carlo Methods in Practice, New York, NY, USA, Springer-Verlag, 2001.Chen, Z., Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond, Hamilton, Adaptive Systems Laboratory Technical Report, 2003.Chen, Z., Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond, Hamilton, Adaptive Systems Laboratory Technical Report, 2003.Рыбаков К.А. Решение нелинейных задач оценивания при обработке навигационных данных с использованием непрерывного фильтра частиц // Гироскопия и навигация. 2018. Т. 26. №4 (103). С. 82–95. DOI: 10.17285/0869-7035.2018.26.4.082-095.Рыбаков К.А. Решение нелинейных задач оценивания при обработке навигационных данных с использованием непрерывного фильтра частиц // Гироскопия и навигация. 2018. Т. 26. №4 (103). С. 82–95. DOI: 10.17285/0869-7035.2018.26.4.082-095.Vasiliev, V.A., Isaev, A.M., Stepanov, O.A., Toropov, A.B., Monte Carlo Methods in Measurement Data Processing Using Resampling Procedures, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2025, vol. 64, no. 6, pp. 900–926.Vasiliev, V.A., Isaev, A.M., Stepanov, O.A., Toropov, A.B., Monte Carlo Methods in Measurement Data Processing Using Resampling Procedures, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2025, vol. 64, no. 6, pp. 900–926.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.Степанов О.А., Торопов А.Б. Применение последовательных методов Монте-Карло с использованием процедур аналитического интегрирования при обработке навигационной информации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 3324–3337. EDN: SSITORСтепанов О.А., Торопов А.Б. Применение последовательных методов Монте-Карло с использованием процедур аналитического интегрирования при обработке навигационной информации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 3324–3337. EDN: SSITORGustafsson, F., Gunnarsson, F., Bergman, N., Forssell, U., Jansson, J., Karlsson, R., Nordlund, P.-J., Particle filters for positioning, navigation and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no 2, pp. 425–437.Gustafsson, F., Gunnarsson, F., Bergman, N., Forssell, U., Jansson, J., Karlsson, R., Nordlund, P.-J., Particle filters for positioning, navigation and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, vol. 50, no 2, pp. 425–437.Schön, T., Gustafsson, F., and Nordlund, P.-J., Marginalized Particle Filters for Mixed Linear/Nonlinear State-Space Models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53, 7, 2279–2289.Schön, T., Gustafsson, F., and Nordlund, P.-J., Marginalized Particle Filters for Mixed Linear/Nonlinear State-Space Models, IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53, 7, 2279–2289.Sarkka, S., Vehtari, A., Lampinen, J., Rao-Blackwellized particle filter for multiple target tracking, Information Fusion, 2007, vol. 8 (1), pp. 2–15.Sarkka, S., Vehtari, A., Lampinen, J., Rao-Blackwellized particle filter for multiple target tracking, Information Fusion, 2007, vol. 8 (1), pp. 2–15.Gustafsson, F., Particle filter Theory and Practice with Positioning Applications, IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2010, vol. 25, no. 7, pp. 53–82.Gustafsson, F., Particle filter Theory and Practice with Positioning Applications, IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2010, vol. 25, no. 7, pp. 53–82.Лайниотис Д.Г. Разделение единый метод построения адаптивных систем // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1976. Т. 64. №8. I. Оценивание. С. 827. II. Управление. С. 74–94.Лайниотис Д.Г. Разделение единый метод построения адаптивных систем // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1976. Т. 64. №8. I. Оценивание. С. 827. II. Управление. С. 74–94.Кpасовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория коppеляционно-экстpемальных навигационных систем. М.: Наука, 1979. 448 с.Кpасовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория коppеляционно-экстpемальных навигационных систем. М.: Наука, 1979. 448 с.Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. М.: Наука, 1985. 328 с.Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. М.: Наука, 1985. 328 с.Торопов А.Б. Алгоритмы фильтрации в задачах коррекции показаний морской навигационной системы с использованием нелинейных измерений: специальность «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»: дис. … канд. техн. наук. 05.13.01. СПб., 2013. 147 с.Торопов А.Б. Алгоритмы фильтрации в задачах коррекции показаний морской навигационной системы с использованием нелинейных измерений: специальность «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»: дис. … канд. техн. наук. 05.13.01. СПб., 2013. 147 с.Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли / под. общей редакцией В.Г. Пешехонова, редактор О.А. Степанов. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 390 с.Современные методы и средства измерения параметров гравитационного поля Земли / под. общей редакцией В.Г. Пешехонова, редактор О.А. Степанов. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017. 390 с.Степанов О.А., Васильев В.А., Торопов А.Б. Решение задачи навигации по геофизическим полям с учетом изменчивости погрешностей корректируемой навигационной системы // XXIX Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам: сборник материалов. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2022. С. 60–65. EDN HQFOIF.Степанов О.А., Васильев В.А., Торопов А.Б. Решение задачи навигации по геофизическим полям с учетом изменчивости погрешностей корректируемой навигационной системы // XXIX Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам: сборник материалов. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2022. С. 60–65. EDN HQFOIF.Степанов О.А., Васильев В.А., Исаев А.М. Субоптимальный алгоритм решения задачи коррекции навигационной системы при изменчивом характере ее погрешностей по данным о геофизических полях // Международный семинар «Навигация и управление движением» (NMC 2023). СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2023. С. 90–95. EDN QRZONS.Степанов О.А., Васильев В.А., Исаев А.М. Субоптимальный алгоритм решения задачи коррекции навигационной системы при изменчивом характере ее погрешностей по данным о геофизических полях // Международный семинар «Навигация и управление движением» (NMC 2023). СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2023. С. 90–95. EDN QRZONS.Jazwinski, A.H., Stochastic process and filtering theory, New York, Academic Press, 1970.Jazwinski, A.H., Stochastic process and filtering theory, New York, Academic Press, 1970.Simon, D., Optimal State Estimation: Kalman H∞ and Nonlinear Approaches, New Jersey, NJ, John Wiley & Sons, Inc., 2006.Simon, D., Optimal State Estimation: Kalman H∞ and Nonlinear Approaches, New Jersey, NJ, John Wiley & Sons, Inc., 2006.Särkkä, S., Bayesian Filtering and Smoothing, Cambridge, 2013.Särkkä, S., Bayesian Filtering and Smoothing, Cambridge, 2013.Дмитриев С.П., Шимелевич Л.И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. Ленинград: ЦНИИ «Румб», 1977.Дмитриев С.П., Шимелевич Л.И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. Ленинград: ЦНИИ «Румб», 1977.Степанов О.А., Лопарев А.В., Челпанов И.Б. Частотно-временной подход к решению задач обработки навигационной информации // Автоматика и телемеханика. 2014. №6. С. 132–153.Степанов О.А., Лопарев А.В., Челпанов И.Б. Частотно-временной подход к решению задач обработки навигационной информации // Автоматика и телемеханика. 2014. №6. С. 132–153.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 2. Введение в теорию фильтрации. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2025. 417 с.Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 2. Введение в теорию фильтрации. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2025. 417 с.Степанов О.А., Исаев А.М. Методика сравнительного анализа рекуррентных алгоритмов нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации на основе предсказательного моделирования // Гироскопия и навигация. 2023. Т. 31. №3 (122). C. 48–65. EDN: MVWKGC.Степанов О.А., Исаев А.М. Методика сравнительного анализа рекуррентных алгоритмов нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации на основе предсказательного моделирования // Гироскопия и навигация. 2023. Т. 31. №3 (122). C. 48–65. EDN: MVWKGC.Busy, R.S., Senne, K.D., Digital Synthesis of Nonlinear Filters, Automatica, 1971, vol. 7, no. 3, pp. 287–298.Busy, R.S., Senne, K.D., Digital Synthesis of Nonlinear Filters, Automatica, 1971, vol. 7, no. 3, pp. 287–298.Степанов О.А., Торопов А.Б. Использование последовательных методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2010. Т. 53. №10. С. 49–54. EDN MVZBIH.Степанов О.А., Торопов А.Б. Использование последовательных методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2010. Т. 53. №10. С. 49–54. EDN MVZBIH.Степанов О.А., Торопов А.Б. Сопоставление метода сеток и методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам: сборник материалов. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 308–311. EDN SHCRIH.Степанов О.А., Торопов А.Б. Сопоставление метода сеток и методов Монте-Карло в задаче корреляционно-экстремальной навигации // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам: сборник материалов. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 308–311. EDN SHCRIH.Lefebvre, T., Nonlinear Kalman Filtering for Force-Controlled Robot Tasks, Berlin, Springer, 2005.Lefebvre, T., Nonlinear Kalman Filtering for Force-Controlled Robot Tasks, Berlin, Springer, 2005.Амелин К.С., Граничин О.Н. Возможности рандомизации в алгоритмах предсказания калмановского типа при произвольных внешних помехах в наблюдении // Гироскопия и навигация. 2011. №2 (73). С. 38–50. EDN NYFENZ.Амелин К.С., Граничин О.Н. Возможности рандомизации в алгоритмах предсказания калмановского типа при произвольных внешних помехах в наблюдении // Гироскопия и навигация. 2011. №2 (73). С. 38–50. EDN NYFENZ.Stepanov, O., Isaev, A., Dranitsyna, E., Litvinenko, Y., Recursive Batch Smoother with Multiple Linearization for One Class of Nonlinear Estimation Problems: Application for Multisensor Navigation Data Fusion, Sensors, 2025, 25, 756, https://doi.org/10.3390/s25247566.Stepanov, O., Isaev, A., Dranitsyna, E., Litvinenko, Y., Recursive Batch Smoother with Multiple Linearization for One Class of Nonlinear Estimation Problems: Application for Multisensor Navigation Data Fusion, Sensors, 2025, 25, 756, https://doi.org/10.3390/s25247566.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.